行列式 - 同乘后加到另一行后，行列式不变

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@@ Date: 2024-12-18 0154

证明行列式的某行的各元素同乘以一个数然后加到另一行上，行列式不变，我们可以按照以下步骤进行：

第一步，设原行列式为

$D = \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{array} \right|$

其中，$i \neq j$。

第二步，根据题目要求，我们将第$i$行的各元素同乘以一个数$k$然后加到第$j$行上，得到新的行列式：

$D' = \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
a_{j1} + ka_{i1} & a_{j2} + ka_{i2} & \cdots & a_{jn} + ka_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{array} \right|$

第三步，根据行列式的性质 —— 行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则D'等于下列两个行列式之和，得到：

$D' = \left( \left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{array} \right| +
\left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{array} \right| \right)$

第四步，第二个行列式的第$j$行是第$i$行的$k$倍，根据行列式的性质 —— 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。因此，我们得到：

$D' = D + 0 = D$

这就证明了行列式的某行的各元素同乘以一个数然后加到另一行上，行列式不变。