导数

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@@ Date: 2025-02-25

导数（Derivative）是微积分学中的一个概念，函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率），导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

函数 $f$ 对变量 $x$ 的导数表示 $f$ 随 $x$ 的变化率。换句话说，导数描述了函数 $f$ 在点 $x$ 处的瞬时变化率。形式上，导数记作 $\frac{df}{dx}$，表示当 $x$ 变化一个微小量时， $f$ 变化的量。

定义

当函数 $f(x)$ 的自变量 $x$ 在点 $x_0$ 上产生一个增量 $h$ 时，函数输出值的增量与自变量增量 $h$ 的比值在 $h$ 趋于 $0$ 时的极限如果存在，即为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$。

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域有定义，若极限

$$
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$f'(x_0)$ 即为 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的导数。

导数 $f'(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率，这也是导数的几何意义。

笔记

• 在 $x_0$ 处 可理解为 当 $x=x_0$ 的时候。
• 邻域 是集合中的概念，表示点 $x_0$ 附近的一段区域（不包含点 $x_0$）。

$x$ 变化时函数 $1+𝑥sin(𝑥^2)$（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

记法 & 公式

导数的记法有多种形式，具体取决于上下文和使用习惯。

1. 莱布尼茨记法（Leibniz Notation）

这是最常见的导数记法，用 $\frac{dy}{dx}$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数。

• 公式：
  $$
  \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
  $$

  或

  $$
  \frac{d}{dx} f(x)
  $$

  其中：

  • $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 是函数值的变化量。
  • $\Delta x$ 是自变量的变化量。

• 示例：
  如果 $y = x^2$，则：
  $$
  \frac{dy}{dx} = 2x
  $$

2. 拉格朗日记法（Lagrange Notation）

用 $f'(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的导数。

• 公式：
  $$
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
  $$

• 示例：
  如果 $f(x) = \sin(x)$，则：
  $$
  f'(x) = \cos(x)
  $$

3. 牛顿记法（Newton Notation）

用 $\dot{y}$ 表示 $y$ 对时间 $t$ 的导数，常见于物理学中。

• 公式：
  $$
  \dot{y} = \frac{dy}{dt}
  $$

• 示例：
  如果 $y = t^3$，则：
  $$
  \dot{y} = 3t^2
  $$

导数的几何意义

导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。

• 如果导数为正，函数在该点处是递增的。
• 如果导数为负，函数在该点处是递减的。
• 如果导数为零，函数在该点处可能是极值点（最大值或最小值）。

导数的物理意义

在物理学中，导数可以表示速度、加速度等变化率。

例如，位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。

单侧导数

• 左导数 $f'_-(x)$
• 右导数 $f'_+(x)$

TODO 图

$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $<=>$ 左右导数都存在且相等。

求导

求导是计算函数导数的过程，即找出函数在各点处的切线斜率。

求导方法

1. 基本求导公式：

   • $\frac{d}{dx} (c) = 0$ （$c$ 为常数）
   • $\frac{d}{dx} (x) = 1$
   • $\frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1}$ （$n$ 为实数）
   • $\frac{d}{dx} (e^x) = e^x$
   • $\frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x}$
   • $\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \times ln(a)$
   • $\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$

2. 求导法则：

   • 加法法则
     $$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$
   • 乘法法则
     $$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$
   • 链式法则
     $$\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

例1: 求函数 $f(x)=x^2$ 的导数

使用幂函数的导数公式

幂函数的导数公式为：

$$
\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}
$$

对于 $f(x) = x^2$，幂指数 $n = 2$，因此：

$$
\frac{d}{dx}(x^2) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x
$$

使用公式代入推导

1. 写出导数的定义：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
   $$
2. 代入 $f(x) = x^2$：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}
   $$
3. 代入利用完全平方和公式展开：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
   $$
4. 简化分子：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}
   $$
5. 约分 $h$：
   $$
   \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} (2x + h)
   $$
6. 取极限 $h \to 0$：
   $$
   \frac{dy}{dx} = 2x + 0 = 2x
   $$

例2: 求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的导数

1. 代入函数表达式
   $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} $$

2. 将分子部分通分：
   $$ \frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)} $$

3. 将通分结果代入导数表达式：
   $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{x(x + h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{x(x + h)h} $$

4. 约简 $h$：
   $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x + h)} $$

5. 求极限，当 $h \to 0$时，$x + h \to x$，因此：
   $$ f'(x) = \frac{-1}{x^2} = -x^{-2} $$

例3: 求函数 $f(x)=e^{-1}$ 的导数

1. 函数 $f(x) = e^{-x}$ 是一个复合函数，其中：

• 外层函数是指数函数：$g=e^{h}$。
• 内层函数是线性函数：$h=-x$。

1. 使用链式法则代入：

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \left( g(h(x)) \right) &= g'(h(x)) \cdot h'(x) \\
\frac{d}{dx} e^{-x} &= g'(h(x)) \cdot h'(x)\\
\frac{d}{dx} e^{-x} &= e^{-x} \cdot -1 = -e^{-x} \\
\end{aligned}
$$

• 外层指数函数的导数：$g'(h) = \frac{d}{dh} e^h = e^h$
• 内层线性函数的导数：$h'(x) = \frac{d}{dx} (-x) = -1$

例4: 求Sigmoid函数 $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ 的导数

1. 首先，将 Sigmoid 函数写成指数形式：

$$
f(x) = (1 + e^{-x})^{-1}
$$

2. 使用链式法则：

$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1 + e^{-x})^{-1} \right)
$$

链式法则的公式为：
$$
\frac{d}{dx} \left( g(h(x)) \right) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$

在这里：

• $g(u) = u^{-1}$，其导数为 $g'(u) = -u^{-2}$；
• $h(x) = 1 + e^{-x}$，其导数为 $h'(x) = -e^{-x}$。

因此：
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\left(1 + e^{-x}\right)^{-2} \cdot (-e^{-x})
$$

3. 将导数表达式化简：

$$
f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}
$$

4. 用 Sigmoid 函数表示, 注意到 $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$，因此可以将导数表示为：

$$
f'(x) = f(x) \cdot (1 - f(x))
$$

推导过程：
$$
f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} = \frac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} = f(x) \cdot \left(1 - \frac{1}{1 + e^{-x}}\right) = f(x) \cdot (1 - f(x))
$$

离散数据的导数计算

假设摩托车在行驶过程中记录下的时间与速度的关系:

• 速度：y: [10, 12, 15, 80, 85, 90]
• 时间：x: [1 2 3 4 5 6 ]
• 函数关系：$y = f(x)$

根据连续导数定义公式:

$$
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$

对于离散数据来说，不能取 $h \rightarrow 0$，只能取有限小的 $\Delta x$（常取为数据点之间的固定间距 $h$, 在这里也就是 $h=1$）。

代入可得:

$$
f'(x_k) \approx \frac{f(x_k + h) - f(x_k)}{h}
$$

前向差分公式

上面这种公式，也叫前向差分公式

$$
f'(x_k) \approx \frac{f_{k+1} - f_k}{h}
$$

因为 $h=1$, 则简化为:

$$
f'(x_k) \approx f_{k+1} - f_k
$$

即：[2, 3, 65, 5, 5, N/A(没有下一个数据点)]

后向差分公式

$$
f'(x_k) \approx \frac{f_k - f_{k-1}}{h}
$$

或者

$$
f'(x_k) \approx f_k - f_{k-1}
$$

即：[N/A(没有上一个数据点), 2, 3, 65, 5, 5]

中心差分公式

还有更高精度的中间差分公式(取 $x$ 左右两边点的斜率)，具体的推导式需要 泰勒级数 (Taylor Series)

$$
f'(x_k) \approx \frac{f_{k+1} - f_{k-1}}{2h}
$$

通常结合其他差分模式一起计算:

[2(左边界，通常用前向差分), 2.5, 34, 35, 5, 5(右边界，通常用后向差分)]

参考

• 维基百科-导数
• 知乎-指数函数求导证明